(2012?镇江)边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正...(2012 镇江)边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形(如图),…,按此方式依次操作,则第6个正六边形的边长为(  )

答案:题库巴巴解:连接AD、DF、DB,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE,AB=AF,∠E=∠C=120°,EF=DE=BC=CD,
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°,
∵∠AFE=∠ABC=120°,
∴∠AFD=∠ABD=90°,
在Rt△ABD和RtAFD中
AF=AB
AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△AFD,
∴∠BAD=∠FAD=
1
2
×120°=60°,
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°,
∴AD∥EF,
∵G、I分别为AF、DE中点,
∴GI∥EF∥AD,
∴∠FGI=∠FAD=60°,
题库巴巴
∵六边形ABCDEF是正六边形,△QKM是等边三角形,
∴∠EDM=60°=∠M,
∴ED=EM,
同理AF=QF,
即AF=QF=EF=EM,
∵等边三角形QKM的边长是a,
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是
1
3
a,即等边三角形QKM的边长的
1
3

过F作FZ⊥GI于Z,过E作EN⊥GI于N,
则FZ∥EN,
∵EF∥GI,
∴四边形FZNE是平行四边形,
∴EF=ZN=
1
3
a,
∵GF=
1
2
AF=
1
2
×
1
3
a=
1
6
a,∠FGI=60°(已证),
∴∠GFZ=30°,
∴GZ=
1
2
GF=
1
12
a,
同理IN=
1
12
a,
∴GI=
1
12
a+
1
3
a+
1
12
a=
1
2
a,即第二个等边三角形的边长是
1
2
a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第三个正六边形的边长是
1
3
×
1
2
a;
同理第第三个等边三角形的边长是
1
2
×
1
2
a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第三个正六边形的边长是
1
3
×
1
2
×
1
2
a;
同理第四个等边三角形的边长是
1
2
×
1
2
×
1
2
a,第四个正六边形的边长是
1
3
×
1
2
×
1
2
×
1
2
a;
第五个等边三角形的边长是
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
a,第五个正六边形的边长是
1
3
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
a;
第六个等边三角形的边长是
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
a,第六个正六边形的边长是
1
3
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
a,
即第六个正六边形的边长是
1
3
×(
1
2
)
5
a,
故选A.
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